العُقد
هي إحدى العناصر الرياضية الأكثر مادية والأكثر سهولة في شرحها لغير
المتخصصين، مثلا لنأخذ خيطأ ونعقده ونثبت الطرفين سويا، سوف نحصل على عقدة.
ويفترض في الخيط أن يكون مرنا وقابلا للتمدد، وكل تحول مستمر لا يقطع
الخيط مقبول؛ أي أنه لا يغير العُقدة.
على الرغم من سهولة التعريف، فإن العقدة ممكن أن تكون مادة معقدة جدا، وهذا يكفي لشرح جاذبيتها للرياضيين. ومما يتعتبر أقل بداهة الاهتمام الكبير بالعقدة من جانب الفزيائيين، والكميائيين وعلماء الأحياء (البيولوجيين)، هكذا الحال منذ منتصف القرن التاسع عشر ولا يزال هو الحال اليوم.
تطورت نظرية العُقد بسبب منظور التطبيقات (في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا) مثل كثير من الموضوعات الرياضية، ولأسباب داخلية في الرياضية.
مثلما يحدث في كثير من الأحوال، فإن الأخيرة كانت محددة أكثر من الأوائل دون أن نقلل من شأن فائدة وأهمية تطبيقات نظرية العُقد سيهتم الرياضيون بالعُقد حتى لو كانوا يفكرون أنها بلا فائدة خارج الرياضة، فكثير من الرياضيين انجذبوا لجمال هذه المواد المجسمة والمعقدة، وكذلك بالتحدي الذي تمثله صعوبة تصنيف وحل بعض المسائل البسيطة في صياغتها ولكنها صعبة في حلها، وبعض المسائل موضوعة منذ أكثر من مائة عام تم حلها مؤخرا، وأخرى مازالت مفتوحة. هذه التطورات تحدث دائما بشكل غير متوقع ومبني على أفكار يمكن أن تكون آتية من موضوعات رياضية (أو فيزيائية) لا نشك أن لديها علاقة بالعُقد.
كل هذا يجعل من نظرية العُقد مذهبا نشطاً جداً مفتوحا على التفاعلات، والتي تحتفظ لنا بلا شك بمزيد من المفاجآت.
البدايات: فاندروموند، وجاوس، وتيه
لقد أشار ألكسندر - تيوفيل فاندر موند Alexander-Téophile Vandermonde إلى العُقد منذ عام 1771م في مذكراته "ملحوظات على مشكلات الوضع"، وجاء بعده الألماني كارل فريديريش جاوس Carl Friedrich Gauss (1855-1777) وهو أول رياضي يهتم بالعُقد فمما سجله، يعد الأكثر قدما، نجد نبذة عن العُقد، ثم خصص مقالين للعُقد حديثا 1833م، يُعرف عدد (التشابكات أو الجدلات) لعقدتين يسمى هذا العدد اليوم "لا متغير توبولوجي" (Topologique invariant): إنه لا يتوقف على طول أكبر أو زاوية ولكن على وضع نسبي.
في عام 1833م لم تكن كلمة توبولوجي موجودة. ولكن كان الحديث عن geometria situs أو وضع هندسي، ولم يكن واضحا البتة ماذا يغطي هذا الموضوع في مدوناته في 1833، ذكر جاوس أن دراسة اللامتغير الذي انتهى من تعريفه ستكون واحدة من مهام الهندسة geometria situs الوضعية المهمة (Hauptaufgabe)
كيف نمثل العقد ؟
على الرغم من سهولة التعريف، فإن العقدة ممكن أن تكون مادة معقدة جدا، وهذا يكفي لشرح جاذبيتها للرياضيين. ومما يتعتبر أقل بداهة الاهتمام الكبير بالعقدة من جانب الفزيائيين، والكميائيين وعلماء الأحياء (البيولوجيين)، هكذا الحال منذ منتصف القرن التاسع عشر ولا يزال هو الحال اليوم.
تطورت نظرية العُقد بسبب منظور التطبيقات (في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا) مثل كثير من الموضوعات الرياضية، ولأسباب داخلية في الرياضية.
مثلما يحدث في كثير من الأحوال، فإن الأخيرة كانت محددة أكثر من الأوائل دون أن نقلل من شأن فائدة وأهمية تطبيقات نظرية العُقد سيهتم الرياضيون بالعُقد حتى لو كانوا يفكرون أنها بلا فائدة خارج الرياضة، فكثير من الرياضيين انجذبوا لجمال هذه المواد المجسمة والمعقدة، وكذلك بالتحدي الذي تمثله صعوبة تصنيف وحل بعض المسائل البسيطة في صياغتها ولكنها صعبة في حلها، وبعض المسائل موضوعة منذ أكثر من مائة عام تم حلها مؤخرا، وأخرى مازالت مفتوحة. هذه التطورات تحدث دائما بشكل غير متوقع ومبني على أفكار يمكن أن تكون آتية من موضوعات رياضية (أو فيزيائية) لا نشك أن لديها علاقة بالعُقد.
كل هذا يجعل من نظرية العُقد مذهبا نشطاً جداً مفتوحا على التفاعلات، والتي تحتفظ لنا بلا شك بمزيد من المفاجآت.
البدايات: فاندروموند، وجاوس، وتيه
لقد أشار ألكسندر - تيوفيل فاندر موند Alexander-Téophile Vandermonde إلى العُقد منذ عام 1771م في مذكراته "ملحوظات على مشكلات الوضع"، وجاء بعده الألماني كارل فريديريش جاوس Carl Friedrich Gauss (1855-1777) وهو أول رياضي يهتم بالعُقد فمما سجله، يعد الأكثر قدما، نجد نبذة عن العُقد، ثم خصص مقالين للعُقد حديثا 1833م، يُعرف عدد (التشابكات أو الجدلات) لعقدتين يسمى هذا العدد اليوم "لا متغير توبولوجي" (Topologique invariant): إنه لا يتوقف على طول أكبر أو زاوية ولكن على وضع نسبي.
في عام 1833م لم تكن كلمة توبولوجي موجودة. ولكن كان الحديث عن geometria situs أو وضع هندسي، ولم يكن واضحا البتة ماذا يغطي هذا الموضوع في مدوناته في 1833، ذكر جاوس أن دراسة اللامتغير الذي انتهى من تعريفه ستكون واحدة من مهام الهندسة geometria situs الوضعية المهمة (Hauptaufgabe)
كيف نمثل العقد ؟
0 comments
إرسال تعليق